Горелов В.А. Об алгебраических свойствах аналитических функций некоторых классов и их приложениях в теории трансцендентных чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел. — Москва: Московский государственный университет имени Μ.В. Ломоносова. — 2020. — 33 с.Актуальность темы и степень её разработанности.
В теории трансцендентных чисел значительное место занимают исследования арифметической природы значений различных аналитических функций. Одним из основных методов в этой области остаётся опубликованный в 1929 г. метод К. Зигеля, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений в алгебраических точках целых аналитических функций некоторого класса, названных им Е-функциями. К. Зигель сформулировал гипотезу, что всякая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из ℂ(z), представляется в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа гипергеометрических Е-функций, а также функций, получающихся из них заменой z на αz при α ϵ А, где А – поле всех алгебраических чисел над ℚ. До появления статей автора в направлении решения этой задачи не было получено никаких результатов.
Положения, выносимые на защиту.
Обобщение и уточнение общих теорем А.Б. Шидловского об алгебраической независимости значений Е-функций.
Доказательство гипотезы Зигеля для случая линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка и некоторых видов линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
Решение вопроса, об алгебраической независимости над ℂ(z) множества, всех гипергеометрических Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям не выше 2-го порядка, а также о возможных алгебраических связях между ними.
Доказательство теорем общего характера, с необходимыми и достаточными условиями об алгебраической независимости над ℂ(z) решений произвольных совокупностей гипергеометрических уравнений различных порядков.
Получение новых алгебраических тождеств, связывающих гипергеометрические функции.
Получение новых оценок многочленов от значений Е-функций.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории трансцендентных чисел, теории диофантовых приближений, теории специальных функций, дифференциальной алгебре, аналитической теории дифференциальных уравнений.