Дынников И.А. Классическая дифференциальная геометрия. Курс лекций

Мехмат МГУ, 2020. — 88 с.Обозначения.
Предварительные сведения и напоминания.
Кривые в евклидовом пространстве.
Понятие кривой. Параметризация.
Задание кривых системами уравнений.
Касательная прямая к кривой.
Соприкосновение кривых. Точки спрямления.
Соприкасающаяся окружность. Кривизна.
Натуральный параметр. Длина дуги. Формула для кривизны в натуральной.
параметризации.
Кривизна со знаком и формулы Френе плоской кривой.
Формулы Френе пространственной кривой. Кручение.
Восстановление кривой в ℝ3 по кривизне и кручению.
k-Регулярность. Многомерные формулы Френе.
Проекции кривой в ℝ3 на трехгранник Френе.
Эволюта и эвольвента плоской кривой.
Интеграл кривизны по замкнутому плоскому контуру.
Поверхности в трехмерном пространстве.
Определение поверхности. Локальные координаты. Способы задания.
Касательная плоскость к поверхности.
Первая фундаментальная форма. Длина кривой на поверхности. Площадь поверхности.
Вторая фундаментальная форма. Кривизна нормального сечения.
вные кривизны. Формула Эйлера.
Деривационные формулы Вайнгартена. Сферическое отображение. Гауссова кривизна.
Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой кривизны.
Линии кривизны. Омбилические точки.
Средняя кривизна. Минимальные поверхности.
Теорема Менье. Поверхности вращения.
Деривационные формулы Гаусса. Тождества Кристоффеля.
Совместность пары обыкновенных дифференциальных уравнений.
Коммутатор векторных полей.
Теорема Бонне.
Уравнения Гаусса–Кодацци. Теорема Гаусса.
Асимптотические линии. Поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Внутренняя геометрия поверхности.
Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Примеры геодезических: прямая на любой.
поверхности, геодезические на поверхности вращения. Интеграл Клеро.
Уравнение геодезических. Продолжаемость геодезических.
Уравнения Эйлера–Лагранжа. Геодезические как экстремали функционала действия.
Экспоненциальное отображение. Локальные свойства геодезических: возможность.
провести геодезическую через близкие точки, реализация кратчайшего расстояния.
Полугеодезические координаты. Метрики постоянной кривизны.
Метрики сферы и плоскости Лобачевского.
Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование.
Интеграл геодезической кривизны по замкнутому контуру. Угловой дефект. Эйлерова.
характеристика.
Теорема Гаусса–Бонне.