Заставный В.П. Геометрия масс

Учебное пособие. — Донецк: Донецкий национальный университет, 2017. — 103 с.В учебном пособии содержатся основные разделы по учебной дисциплине «Геометрия масс и некоторые её применения в механике».
Предназначено для студентов факультета математики и информационных технологий ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет» направления подготовки «Математика».Учебное пособие содержит в полном объеме теоретические сведения по курсу «Геометрия масс» для студентов направления подготовки «Математика». Для удобства изложения и применения в классической механике изложение материала приведено в трехмерном пространстве, хотя все понятия и многие теоремы легко переносятся на произвольное конечномерное евклидово пространство. Для более глубокого понимания студентам рекомендовано самостоятельно выписать соответствующие определения и утверждения для конечномерного евклидова пространства.Центр масс в случае конечной системы материальных точек.
Определение центра масс. Основные теоремы.
Теоремы Чевы и Менелая.
Барицентрические координаты на плоскости.
Центр масс в общем случае.
Интеграл и масса.
Определение центра масс множества с распределенной по нему массой с заданной плотностью.
Теоремы Гюльдена.
Центр масс усеченного однородного конического тела.
Момент инерции.
Момент инерции в дискретном случае.
Момент инерции в общем случае.
Момент инерции относительно точки. Теорема Якоби.
Моменты инерции относительно параллельных плоских множеств. Теоремы Лагранжа и Гюйгенса-Штейнера.
Центробежный и сопряженный моменты инерции.
Момент инерции относительно прямой как квадратичная форма самосопряженного оператора. Оператор инерции.
Поверхность инерции. Гирационная поверхность инерции.
Случай неотрицательной плотности.
Примеры пустых поверхностей инерции.
Поверхности инерции, полученные параллельным переносом.
Критерий существования точки, для которой поверхность инерции является сферой или пустым множеством.
Построение поверхности инерции в произвольной точке по известной центральной поверхности инерции. Теорема Бине.
Квадратичные формы.
Квадратичная форма линейного самосопряженного оператора в ℝ₃. Матрицы квадратичной формы.
Связь между двумя матрицами квадратичной формы самосопряженного оператора.
Продолжение самосопряженного оператора в ℝ₃ до самосопряженного в ℂ₃.
Собственные числа самосопряженного оператора в ℂ₃.
Теорема о существовании собственных чисел и векторов.
Классы квадратичных форм и критерии.
Задачи и ответы.
Положительные массы.
Отрицательные массы.
Теоремы Чевы и Менелая.
Теоремы Гюльдена.
Момент инерции.
Барицентрические координаты.
Ответы.
Заключение.
Список использованных источников.
Предметный указатель.