Берденова Г.Ж., Муталип С. Функциональный анализ в примерах и задачах

Учебно-методическое пособие. — Костанай: Каспийский государственный университет им. А. Байтурсынова (КГУ), 2016. — 224 с.В учебно-методическом пособии рассматриваются основы функционального анализа: метрические пространства, линейные метрические пространства и функционалы, линейные операторы в пространствах Банаха, операторные уравнения в пространствах Гильберта.
Учебно-методическое пособие будет полезным для обучающихся по специальности 5В060100 — Математика.ВведениеМетрические пространстваМетрические пространства. Определения и примеры
Непрерывные отображения метрических пространств
Сходимость
Сходимость на языке окрестностей
Непрерывность по ГейнеЗамыкание
Замкнутые множестваОткрытые множества
Полные метрические пространстваТеорема о вложенных шарах
Плотные подмножества. Теорема БэраПолнота и разрешимость уравнений
Пополнение пространстваПринцип сжимающих отображений
Применение принципа сжимающих отображений к обыкновенным дифференциальным уравнения
Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениямЛинейные метрические пространства и функционалыЛинейные пространства
Нормированные пространства
Пополнение нормированного пространства
Евклидовы пространства
Пополнение евклидова пространстваОртогональные системы. Теорема об ортогонализации
Коэффициенты Фурье. Неравенство БесселяТеорема Рисса-Фишера
Теорема об изоморфизме
Подпространства, ортогональные дополнения
Свойство параллелограмма
Комплексные евклидовы пространстваФункционалы: основные определения и примеры
Компактные множества в метрическом пространстве. Непрерывные функционалы на компактах
Компактность и полная ограниченность
Компактные множества в C[a, b]. Теорема АрцелаСвойства непрерывных линейных функционалов
Теорема Хана-Банаха в нормированных пространствах
Теорема Хана-Банаха для комплексных пространствСопряженное пространство
Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространствеВторое сопряженное пространство
Слабая сходимость
∗-слабая сходимость∗Обобщенные функции
Производная обобщенной функцииДифференциальные уравнения в классе обобщенных функцийОбобщенные функции нескольких переменных
Свертка обобщенных функцийЛинейные операторы в пространствах БанахаЛинейные операторы: основные определения
Норма оператораПространство ограниченных линейных операторов
Компактные операторыПринцип равномерной ограниченности
Теорема Банаха-ШтейнгаузаЗамкнутые операторы
Теорема о замкнутом графикеСопряженный оператор
Операторные уравнения
Обратный операторНепрерывная обратимость
Достаточные условия непрерывной обратимостиСпектр оператора. Резольвента
Спектр компактного оператораОператорные уравнения в пространствах ГильбертаПродолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
Множества меры нуль. Сходимость почти всюдуФункции, интегрируемые по Лебегу
Основные свойства интеграла Лебега
Кратный интеграл ЛебегаСопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
Самосопряженные операторыСобственные значения самосопряженных операторов
Теорема Гильберта-ШмидтаОкончание доказательства теоремы Гильберта-Шмидта и следствия из нее
Базисы со свойством двойной ортогональностиТеорема об итерациях операторов
Условия разрешимости уравнений первого родаОператорные уравнения второго рода
Теоремы ФредгольмаЗамечания к теоремам Фредгольма
Следствия из теорем ФредгольмаЛинейные интегральные уравнения второго рода
Операторы Гильберта-Шмидта в L2[a, b]Уравнения с вырожденными ядрами
Уравнения ВольтерраЗадачи
Тесты
Список использованных источников