Лысиков В.В. Некоторые вопросы теории сложности билинейных отображений

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика. — Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. — Москва, 2013. — 73 с.Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Алексеев В.Б.Основные результаты диссертации
Описана структура оптимальных алгоритмов для класса билинейных отображений, ранг которых равен сумме размерностей аргументов.
Получен критерий почти минимальности ранга для локальных алгебр.
Описана конструкция билинейных алгоритмов ранга 8 для умножения в алгебрах обобщенных кватернионов над полем характеристики,
отличной от 2.
Доказана нижняя оценка сложности умножения в матричных алгебрах над расширением основного поля, улучшающая известную оценку Блезера.
Полностью описана структура полупростых алгебр почти минимального ранга над бесконечным полем характеристики, отличной от 2.
Установлено, что значения ранга Z-билинейного отображения над алгебраически замкнутыми полями различных характеристик совпадают за исключением конечного числа простых характеристик.Введение
Основные понятия
Билинейные отображения и алгебры
Ассоциативные алгебры над полем
Модель вычислений
Тензорные произведения и расширение кольца скаляров
Алгоритмы умножения обобщенных кватернионов
Алгебры обобщенных кватернионов
Билинейные отображения малого ранга
Сложность умножения обобщенных кватернионов
Ранг произведения алгебр обобщенных кватернионов
Полупростые алгебры почти минимального ранга
Следствия известных оценок
Сложность умножения в алгебрах матриц
Целочисленные билинейные отображения над полями различных характеристик
Ненулевые тензорные произведения
Связь между билинейными алгоритмами
Метаматематическое доказательство
Литература